Thứ Tư, 30 tháng 3, 2016
Khảo Sát Hàm Số:Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị
Vấn đề 7: Biện luận số nghiệm của phương
trình bậc ba bằng đồ thị ( VIDEO )
Dạng 1:
Xét phương trình bậc ba:+ ax3
+bx2 + cx + d = 0 (a≠0) (1)
Gọi
(C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y = f(x) = ax3 +bx2 + cx +
d
Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C)
với trục hoành
1.1.Trường hợp 1
(1)
chỉ có 1 nghiệm
(C) và Ox có 1 điểm chung
1.2.Trường hợp 2
(1) có đúng 2 nghiệm ó (C) tiếp xúc với Ox
(1) có 3 nghiệm phân biệt ó (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
1.3.Trường hợp 3
(VIDEO)
Thứ Ba, 29 tháng 3, 2016
Khảo sát hàm số: Sự Tương Giao Của Các Đồ Thị
VẤN ĐỀ 6: SỰ
TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ ( VIDEO )
Dạng toán 1: Dùng đồ thị hàm số biện luận
số nghiệm phương trình
Xét
phương trình: f(x) = g(x) (1)
Nghiệm
của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của :
(C1):
y = f(x) Và (C2): y = g(x)
=> Để
biện luận số nghiệm của phương
trình F(x, m)
= 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi
(*) về một trong các dạng sau:
1. Dạng 1:F(x, m) = 0 <=> f(x) = m (2)
Khi đó (2) có thể xem là phương trình
hoành độ giao điểm của hai đường:
(C): y =
f(x) Và d: y
= m
Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d.
Từ đó suy ra số nghiệm
của (1) .
2. Dạng 2: F(x, m) = 0 <=> f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tương
tự như trên.
3. Dạng 3: F(x, m) = 0 <=> f(x) = kx + m
(3) (k: không đổi)
Khi đó (3) có thể xem là
phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x) và d: y
= kx + m
Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương với đường thẳng y = kx
và cắt trục tung tại điểm A(0; m).
Viết phương trình các tiếp tuyến
d1, d2, … của (C) có hệ số góc k.
Dựa vào giao điểm của d, d1, d2 với trục tung để biện luận. 
4. Dạng 4: F(x, m) = 0 <=> f(x) =
m(x – x0) + y0 (4)
Khi đó (4) có thể xem là
phương trình hoành độ giao
điểm của hai đường:
(C): y =
f(x)
d: y = m(x – x0) + y0
d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0).
Viết phương
trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C) đi qua M0.
Cho d quay quanh điểm M0
để biện luận.
Chú ý:
Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều
kiện: α ≤ x ≤ β thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x)
với α ≤ x ≤ β .
Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện
của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.
Vậy để biện
luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.
Thứ Hai, 28 tháng 3, 2016
Khảo Sát Hàm số phần 4
Vấn Đề 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tt (video)
3. Hàm số trùng phương y = ax4 +bx2 +c (a ≠ 0)
• Tập
xác định D = ℝ
• Đồ
thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Các dạng đồ thị:
4. Hàm số nhất biến:
Tập xác định D = \{-d/c}
Đồ thị có một tiệm cận
đứng là x= -d/c và một tiệm cận ngang
là y=a/c .
Giao điểm của hai tiệm
cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Các dạng đồ thị:
Khảo Sát Hàm Số:Đường tiệm cận của hàm số. Kháo sát hàm bặc ba
VẤN ĐỀ 4: ĐƯỜNG TiỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ( video)
1.Định nghĩa:
Đuờng
thẳng x=x0 là đường tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số y=f(x) nếu
ít nhất một trong các điều kiện sau đây thoả
mãn:
Lim f(x) = + ∞
x->x0-
Lim f(x) = + ∞
x->x0+
Lim f(x) = - ∞
x->x0+
Lim f(x) = - ∞
x->x0-Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
Lim f(x) = y0
x->-∞
Lim f(x) = y0
x->+∞Đường thẳng y = ax + + b, a ≠ 0 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
Lim[ f(x) – (ax+b)] = 0
x->-∞
Lim[ f(x) – (ax+b)] = 0
x->+∞2. Chú ý:
a)Nếu y = f(x) = P(x)/Q(x) là hàm số phân thức hữu tỷ.
- Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x = x0.
- Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang
- Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.
a = lim f(x)/x
x->+∞
b = lim [f(x) – ax]
x->+∞Hoặc
a = lim f(x)/x
x->-∞
b = lim [f(x) – ax]
x->-∞
VẤN ĐỀ 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị của hàm số
· Tìm tập xác định của hàm
số.
· Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Tính y '
.
+ Tìm các điểm tại đó đạo
hàm y ' =
0 hoặc không xác định.
+ Lập bảng biến thiên xét dấu của đạo hàm, chiều
biến thiên, cực trị của hàm số.
· Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thị
(đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
+ Vẽ các đường tiệm cận
(nếu có) của đồ thị.
+ Xác định một số điểm
đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường
hợp đồ thị không cắt các trục
toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức
tạp th. có thể bỏ qua). Có thể t.m thêm một số điểm
thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm
bậc ba y = ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0)
· Tập xác định D = ℝ
.
· Đồ thị luôn có một
điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
· Các dạng đồ thị:
Vấn Đề 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tt (video)
3. Hàm số trùng phương y = ax4 +bx2 +c (a ≠ 0)
• Tập xác định D = ℝ
• Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Các dạng đồ thị:
4. Hàm số nhất biến:
Tập xác định D = \{-d/c}
Đồ thị có một tiệm cận đứng là x= -d/c và một tiệm cận ngang là y=a/c .
Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Các dạng đồ thị:
Khảo Sát Hàm Số:Cực trị của hàm số. Điều kiện để hàm số có cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ( video)
I. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập D(D ⊂ ℝ) và x0 ∈ D
Giả sử hàm số f xác định trên tập D(D ⊂ ℝ) và x0 ∈ D
1) x0
- là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại khoảng (a;b) ⊂ D và x0 ∈ (a;b) sao cho f (x0) > f (x ) , ∀x ∈
(a;b) \ { x0} .Khi đó f (x0 )
được gọi là giá trị cực đại (cực đại) của hàm số f(x) .
2) x0 – là điểm cực tiểu của f(x) nếu tồn tại khoảng (a;b) ⊂ D và x0 ∈ (a;b) sao cho
f (x0) < f (x ) , ∀x ∈
(a;b) \ { x0} .Khi đó f (x0 )
được gọi là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hàm số f(x).
3) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f(x) thì điểm (x0 ; f (x0 ))
được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x)
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có
đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f '(x0 ) = 0
.
Chú ý: Hàm số f
chỉ có thể
đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên
tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có
đạo hàm trên (a; b) có thể trừ điểm x0
1) Nếu f '(x)
đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f (x) đạt cực tiểu tại x0 .
2) Nếu f '(x)
đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f(x) đạt cực đại tại x0
2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có
đạo hàm trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 , f
'(x0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 .
1) Nếu f "(x0 )
< 0 thì f(x) đạt
cực đại tại x0 .
2) Nếu f "(x0 )
> 0 thì f(x) đạt
cực tiểu tại x0 II. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng toán 1: Tìm cực trị của hàm số
Qui tắc 1: Dùng định li
1.
· Tim
f '(x) .
· Tìm các điểm xi ( i=1, 2, ...) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
· Xét dấu f
'(x) . Nếu f '(x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi .
Qui tắc 2: Dung định li
2.
· Tinh f
'(x)
.
Giải
phương trinh f '(x) = 0 tìm các nghiệm xi (i= 1, 2,
...)
· Tinh f
"(x) và tính f"(xi ) (i= 1,2, ...) .
.Nếu f"(xi ) <0 thi hàm số
đạt cực đại tại xi . Nếu
f"(xi ) >0
thi hàm số đạt cực tiểu tại xiVẤN ĐỀ 3: ĐƯỜNG THẲNG QUA HAI ĐiỂM CỰC TRỊ
1.Hàm bậc ba: y = ax3 + bx2 +
cx + d
Lấy f(x) chia cho f’ (x)
ta được: f(x) = Q(x).f’ (x) + Ax + B.
Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các
điểm cực trị thì: y1 = f(x1) = Ax1 + B
y2 = f(x2) = Ax2 + B
=> Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
2. Hàm số phân thức :
y = f(x) = P(x)/Q(x) = (ax2 +bx + c)/(dx + e)
Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì : y0 = P'(x0)/Q'(x0)
Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:
y = P'(x)/Q'(x) = (2ax + b)/d
Khảo Sát Hàm Số: Tính Đơn Điệu Của Hàm Số.
CHUYÊN ĐỀ:
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ( video)
1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng
biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2))
Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x1 , x2 ∈ K, x1 <
x2 ⇒ f (x1 )
> f (x2 )
2. Điều kiện :
Giả sử f có
đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng
biến trên khoảng I thì f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f
'(x) ≤ 0, ∀x ∈ I
3.Định lý:
Giả sử f có
đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f '(x)
≥ 0, ∀x ∈ I ( f '(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì
f đồng
biến trên
I.
b) Nếu f '(x)
≤ 0, ∀x ∈ I ( f '(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì
f
nghịch biến trên
I.
c) Nếu f '(x)
= 0, ∀x ∈ I thì f
không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc
nửa khoảng thì phải liên tục trên đó.
Dạng toán 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp: Để xét chiều biến thiên của ham số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
- Tim tập xac định của ham số.
- Tinh y’. Tim cac điểm ma tại đo y’ = 0 hoặc y’ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
- Lập bảng xet dấu y
- Lập bảng xet dấu y’ (bảng biến thiên). Từ đo kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của ham số.
Cho ham số y = f (x,m) , m la tham số, có tập xác định D.
- Hàm số f đồng biến trên D ó y’≥0, ∀x∈ D.
- Hàm số f nghịch biến trên D ó y’≤0, ∀x∈ D.
- Từ đo suy ra điều kiện của m.
4) Định li về dấu của tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx +c
- Th1 : ∆ < 0 thì thi g(x) luôn cùng dấu với a.
x
|
-∞ +∞
|
g(x)’
|
cùng dấu với hệ số a
|
- Th2: ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =-b/2a)
x
|
-∞ -b/2a +∞
|
g(x)’
|
cùng dấu a 0 cùng dấu a
|
- Th3: ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thi g(x) khác dấu với a, ngoai khoảng hai nghiệm thi g(x) cùng dấu với a.
x
|
-∞ x1 x2 +∞
|
g’(x)
|
cùng dấu a 0 ngược dấu a 0 cùng dấu a
|
∆ > 0
x1
< x2 <0 <=> P >
0
S < 0
∆ > 0
0<x1
< x2 <=> P
> 0
S >
0
x1
<0< x2 <=> P<0
6) Để hàm số
y = ax3 +bx2 +cx +d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1 ; x2 ) bằng d thi ta thực hiện cac bước sau:
- Tinh y’
- Tim điều kiện để hàm số có
khoảng đồng biến và nghịch biến:
∆ >0
(1)
a≠0
- Biến đổi |x1 _ x2 | = d thành (x1
+ x2 )2 - 4
x1 x2 = d2 (2)
- Sử
dụng định lý Viet
đưa biến đổi pt (2) thành phương trinh theo m.
- Giải phương trinh, so sánh với điều kiện (1)
để chọn nghiệm.
Đăng ký:
Bài đăng (Atom)