Khảo Sát Hàm Số: Tính Đơn Điệu Của Hàm Số.

CHUYÊN ĐỀ:

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ( video)

1. Đinh nghĩa:

  Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) < f (x₂))

  Hàm số f nghịch biến trên  K ⇔ (∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )

2. Điều kiện :

  Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

  a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ I

  b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ I

3.Định lý:

   Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

  a) Nếu f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ I ( f '(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì 

     f đồng biến trên I.

  b) Nếu f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ I ( f '(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì 

     f nghịch biến trên I.

  c) Nếu f '(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I.

 Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì phải         liên tục trên đó.

Dạng toán 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp: Để xét chiều biến thiên của ham số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

• Tim tập xac định của ham số.
• Tinh y’. Tim cac điểm ma tại đo y’ = 0 hoặc y’ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
• Lập bảng xet dấu y
• Lập bảng xet dấu y’ (bảng biến thiên). Từ đo kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của ham số.

Dạng toán2: Tim điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho ham số y = f (x,m) , m la tham số, có tập xác định D.

•  Hàm số f đồng biến trên D ó y’≥0, ∀x∈ D.
• Hàm số f nghịch biến trên D ó y’≤0, ∀x∈ D.
• Từ đo suy ra điều kiện của m.

4) Định li về dấu của tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx +c

• Th1 : ∆ < 0 thì thi g(x) luôn cùng dấu với a.

x	-∞                                                                +∞
g(x)’	cùng dấu với hệ số a

• Th2:  ∆  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =-b/2a)

x	-∞                            -b/2a                          +∞
g(x)’	cùng dấu a        0          cùng dấu a

• Th3:  ∆ > 0  thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thi g(x) khác    dấu  với a, ngoai khoảng hai nghiệm thi g(x) cùng dấu với a.

x	-∞                        x1                            x2                              +∞
g’(x)	cùng dấu a    0     ngược dấu a    0      cùng dấu a

5) So sanh các nghiệm x1; x2 của tam thức bậc hai 2: g(x) = ax2 +bx +c với số 0:

                                         ∆  >  0

    x1 < x2 <0  <=>            P  >  0         

                                         S  < 0                             

                                         ∆  >  0

   0<x1 < x2    <=>            P  >  0         

                                         S  >  0                     

   

   x1 <0< x2     <=>           P<0        

6) Để hàm số  y = ax3 +bx2 +cx +d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến)  (x1 ; x2 ) bằng d thi ta thực hiện cac bước sau:

  - Tinh y’

  - Tim điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

                                                        ∆ >0

                                (1)

                                                        a≠0      

  - Biến đổi |x1 _ x2 | = d thành  (x1 +  x2 )2   - 4 x1 x2 =  d2         (2)

  - Sử dụng định lý Viet đưa biến đổi pt (2) thành phương trinh theo m.

  - Giải phương trinh, so sánh với điều kiện (1) để chọn nghiệm.