Khảo Sát Hàm Số: Tiếp Tuyến Của Hai Đường Cong. Sự Tiếp Xúc Của 2 Đường.

Vấn Đề 8: SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐưỜNG CONG. 

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: 
        Đạo hàm của hàm số (C): y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm  M0 (x0 ; f(x0) 

        Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm  M0 (x0 ; f(x0) ) là:

               y – y0 = f ‘(x0).(x – x0)           với:  y0 = f(x0)

2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:

        Nghiệm của hệ trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường đó.

3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi  phương trình ax2 + bx + c = px + q  có nghiệm kép.

Dạng toán 1: Lập phương trinh tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

Bai toán 1: Viết phương trinh tiếp tuyến D của(C) : y = f (x) tại điểm M0 (x0 ; y0)

·          Phương trinh tiếp tuyến D có dạng :  y −y0 = f '(x0 )(x −x0 ).

           -  Nếu cho  x0 thì tim  y0 = f (x0 )

           -  Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trinh  f (x) = y0 .

           - Tinh y ' = f '(x) . Suy ra  y '(x0 ) = f '(x0 ) .

        => Phương trinh tiếp tuyến D là:  y −y0 = f '(x0 )(x −x0 )

  Bai toán 2: Viết phương trinh tiếp tuyến D của (C) : y = f (x) biết D có hệ số goc k cho         trước.

       Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

            - Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tinh f' (x0).

            - ∆ có hệ số goc k ⇒ f'(x0) = k (1)     
            - Giải phương trinh (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0).Từ đó viết phương trinh của D.

      Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xuc.

            - Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m.

            - ∆ tiếp xuc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trinh sau có nghiệm:

                  

        =>  Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trinh của D.

     Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau:

                

           - ∆ tạo với chiều dương trục hoành góc a thì k = tana

           - ∆ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a

           - ∆  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a # 0) thì k = - 1/a

           - ∆  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một goc a thi :

                                                                                       

Bai toán 3: Viết phương trinh tiếp tuyến D của (C): y = f(x), biết D đi qua điểm A (xA ; yA )

    Cách 1:Tim toạ độ tiếp điểm.

           - Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y’0 = f’ (x0).

           - Phương trình tiếp tuyến D tại M: y – y0 = f’(x0).(x – x0)

           - D đi qua A (xA ; yA ) nên: yA – y0 = f'(x0).(xA – x0)                     (2)

       =>  Giải phương trinh (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của D.

   Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xuc.

        Phương trinh đường thẳng D đi qua A (xA ; yA) có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)  D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

=> Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trinh tiếp tuyến D.