Khảo Sát Hàm Số:Cực trị của hàm số. Điều kiện để hàm số có cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ( video)

I. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập D(D ⊂ ℝ) và  x0 ∈ D

  1) x0 - là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại khoảng (a;b) ⊂ D và  x0 ∈ (a;b) sao cho f (x0) > f (x ) , ∀x ∈ (a;b) \ { x0}  .Khi đó  f (x0 ) được gọi là giá trị cực đại (cực đại) của hàm số f(x) .

  2) x0 – là điểm cực tiểu của f(x) nếu tồn tại khoảng (a;b) ⊂ D và  x0 ∈ (a;b) sao cho

        f (x0) < f (x ) , ∀x ∈ (a;b) \ { x0}  .Khi đó  f (x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hàm số f(x).

  3) Nếu  x0 là điểm cực trị của hàm số f(x) thì điểm  (x0 ; f (x0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị  hàm số f(x)

II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

  Nếu hàm số f có đạo hàm tại  x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì  f '(x0 ) = 0 .

 Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc   

            không có đạo hàm.

III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

  1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b) có thể trừ điểm x0

    1) Nếu f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua  x0 thì f (x) đạt cực tiểu tại  x0 .

    2) Nếu f '(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua  x0 thì f(x) đạt cực đại tại x0

  2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 , f '(x0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại  điểm x0 .

     1) Nếu  f "(x0 ) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại  x0 .

     2) Nếu  f "(x0 ) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại x0 
II. CÁC DẠNG TOÁN

  Dạng toán 1: Tìm cực trị của hàm số

  Qui tắc 1: Dùng định li 1.

    · Tim f '(x) .

    · Tìm các điểm xi ( i=1, 2, ...)  mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

    · Xét dấu f '(x) . Nếu f '(x) đổi dấu khi x đi qua  xi thì hàm số đạt cực trị tại  xi .

 Qui tắc 2: Dung định li 2.

    · Tinh f '(x)

    . Giải phương trinh f '(x) = 0 tìm các nghiệm xi (i= 1, 2, ...)

    · Tinh f "(x) và tính f"(xi ) (i= 1,2, ...) .

    .Nếu f"(xi ) <0 thi hàm số đạt cực đại tại xi . Nếu f"(xi ) >0  thi hàm số đạt cực tiểu tại xi

VẤN ĐỀ 3:  ĐƯỜNG THẲNG QUA HAI ĐiỂM CỰC TRỊ

1.Hàm bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d

    Lấy f(x) chia cho f’ (x) ta được: f(x) = Q(x).f’ (x) + Ax + B.

    Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì: 

             y1 = f(x1) = Ax1 + B
             y2 = f(x2) = Ax2 + B 

=> Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B. 
2. Hàm số phân thức :
    y = f(x) = P(x)/Q(x) = (ax2 +bx + c)/(dx + e)
   Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì : y0 = P'(x0)/Q'(x0)
   Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị   ấy là:

    y = P'(x)/Q'(x) = (2ax + b)/d